EL OBSERVADOR CUANTICO Y LA TEORIA CUANTICA

 

Breve introducción a la teoría de De Broglie-Bohm

La teoría de De Broglie-Bohm (DDB) es una interpretación no convencional de la mecánica cuántica que evita el colapso de la función de onda y el papel misterioso del observador en la interpretación de Copenhague. Sus postulados clave son:

1. Onda piloto: La partícula cuántica (ej. un electrón) tiene una posición y trayectoria definidas en todo momento, pero está guiada por una onda cuántica (la función de onda ψ) que evoluciona según la ecuación de Schrödinger.

2. Ecuación de guía: La velocidad de la partícula está determinada por la fase de la función de onda:

   $$\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{\hslash }}{m}\mathrm{\nabla }S(\vec{x},t)$$

donde $S$ es la fase de $\psi =R{e}^{iS\mathrm{/}\mathrm{\hslash }}$.

Determinismo: El sistema es determinista: dada la posición inicial de la partícula y la función de onda, su evolución está completamente determinada.

1. No colapso: La función de onda nunca colapsa; siempre evoluciona de manera unitaria, incluso durante una medición.

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El papel del observador en DDB

En la interpretación de Copenhague, el observador "colapsa" la función de onda al hacer una medición, pero en DDB el observador no tiene un rol especial. Veamos cómo funciona:

• Medición como interacción física:
  Cuando un aparato de medición interactúa con un sistema cuántico, ambos evolucionan según la ecuación de Schrödinger. La partícula (ej. un electrón) tiene una posición definida, y el aparato de medición (que también está hecho de partículas) registra esa posición.

  • Ejemplo: En el experimento de la doble rendija, el electrón sigue una trayectoria concreta guiada por la onda piloto. Si colocamos un detector en una rendija, la interacción entre el electrón y el detector afecta la onda piloto, lo que resulta en una trayectoria que evita la superposición.

• Ausencia de colapso:
  No hay un "momento mágico" en que la función de onda colapse. En cambio, el sistema (partícula + aparato de medición + entorno) evoluciona a un estado donde la correlación entre la posición de la partícula y el indicador del aparato es clásica (esto se llama descorrelación cuántica o decoherencia).

• El observador como parte del sistema:
  El cerebro de un humano que observa el resultado también está gobernado por la dinámica bohmiana. La percepción de un resultado definido surge porque el observador está correlacionado con una de las ramas de la función de onda universal (sin necesidad de múltiples mundos, como en la interpretación de Everett).

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¿Por qué parece que el observador afecta al sistema?

En DDB, la aparente "influencia" del observador surge porque:

1. La medición perturba la onda piloto:
   Cualquier interacción (como un fotón que golpea un electrón para "observarlo") modifica la función de onda ψ, lo que a su vez altera la trayectoria de la partícula.

2. Variables ocultas:
   La posición inicial de la partícula es una "variable oculta" que no conocemos, por lo que los resultados parecen probabilísticos (como en la física clásica estadística).

3. Decoherencia:
   La correlación entre el sistema medido y el entorno hace que las superposiciones cuánticas sean inobservables a escala macroscópica, dando la ilusión de colapso.

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Diferencias clave con otras interpretaciones

Concepto	De Broglie-Bohm	Interpretación de Copenhague
Función de onda	Guía partículas reales (onda piloto)	Representa probabilidades
Colapso	No existe; ψ evoluciona siempre	Ocurre al medir
Observador	No tiene rol especial	Es necesario para el colapso
Determinismo	Sí (con variables ocultas)	No (aleatoriedad fundamental)

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Críticas y ventajas de DDB

• Ventajas:

  • Elimina el problema del colapso y el rol ambiguo del observador.

  • Explica el fenómeno de no-localidad (acción a distancia) de manera natural (ej. en el entrelazamiento cuántico).

• Críticas:

  • Introduce variables ocultas (posiciones iniciales) que no son accesibles experimentalmente.

  • La onda piloto vive en un espacio de configuración abstracto (no en el espacio físico).

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Conclusión

En la teoría de De Broglie-Bohm, el "observador" no es más que un sistema físico complejo que interactúa con el sistema cuántico bajo las mismas leyes deterministas. La aparente influencia del observador surge de la dinámica de la onda piloto y la decoherencia, sin necesidad de un colapso misterioso.

 

Experimento de la Doble Rendija en DDB

A. Función de onda y ecuación de Schrödinger

La partícula (electrón) está descrita por una función de onda $\psi (\vec{x},t)$ que evoluciona según:

$$i\mathrm{\hslash }\frac{\mathrm{\partial }\psi }{\mathrm{\partial }t}=(-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V)\psi$$

• $V$: Potencial que representa las rendijas (por ejemplo, $V=0$ en las rendijas y $V=\mathrm{\infty }$ en la barrera).

• $\psi$ se escribe en forma polar:

  $$\psi =R(\vec{x},t)e^{iS(\vec{x},t)\mathrm{/}\mathrm{\hslash }},$$

B. Ecuación de guía para la trayectoria

La partícula tiene una posición $\vec{x}(t)$ definida, con velocidad:

$$\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{\nabla }S(\vec{x},t)}{m},$$

derivada de la fase $S$ de $\psi$.

Solución para la doble rendija:

1. Función de onda tras las rendijas:
   Tras pasar por las rendijas (en $t=0$), $\psi$ es una superposición:

   $$\psi (\vec{x},0)={\psi }_1(\vec{x},0)+{\psi }_2(\vec{x},0),$$

donde ${\psi }_1$ y ${\psi }_2$ corresponden a cada rendija.

• Evolución temporal:
  Cada componente se propaga como una onda esférica (solución libre de Schrödinger):

  $${\psi }_j(\vec{x},t)\approx \frac{e^{i(k{r}_j-\omega t)}}{r_j},j=1,2,$$
$$,t)\approx \frac{e^{i(k{r}_j-\omega t)}}{r_j},j=1,2,$$

con $r_j=\mathrm{\mid }\vec{x}-{\vec{x}}_j\mathrm{\mid }$ (distancia a la rendija $j$).

• Densidad de probabilidad:
  La densidad es $\mathrm{\mid }\psi {\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }{\psi }_1+{\psi }_2{\mathrm{\mid }}^2$, que incluye términos de interferencia:

  $$\mathrm{\mid }\psi {\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }{\psi }_1{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }{\psi }_2{\mathrm{\mid }}^2+2\text{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2)\mathrm{.}$$Trayectoria de la partícula:

• Si la partícula pasa por la rendija 1, su velocidad $\vec{v}(t)$depende de $\mathrm{\nabla }S$, donde $S$ es la fase de ${\psi }_1+{\psi }_2$.

• La interferencia en $\psi$ "dirige" la partícula hacia las zonas donde $\mathrm{\mid }\psi {\mathrm{\mid }}^2$ es máximo (franjas brillantes).

 

2. Gato de Schrödinger en DDB

A. Sistema cuántico + dispositivo macroscópico

• Estado inicial:

  $$\mathrm{\mid }\mathrm{\Psi }(0)⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mathrm{\mid }\text{no desintegrado}⟩+\mathrm{\mid }\text{desintegrado}⟩)\otimes \mathrm{\mid }\text{dispositivo intacto}⟩\otimes \mathrm{\mid }\text{gato vivo}⟩\mathrm{.}$$

Evolución: El estado evoluciona a:$$\mathrm{\mid }\mathrm{\Psi }(t)⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mathrm{\mid }\text{no desintegrado}⟩\mathrm{\mid }\text{intacto}⟩\mathrm{\mid }\text{vivo}⟩+\mathrm{\mid }\text{desintegrado}⟩\mathrm{\mid }\text{activado}⟩\mathrm{\mid }\text{muerto}⟩)\mathrm{.}$$

B. Variables ocultas y trayectorias

En DDB:

1. Posiciones definidas:

   • El núcleo atómico está o desintegrado o no desintegrado (variable oculta $\lambda$).

   • El dispositivo y el gato heredan esta definición: no hay superposición real.

2. Onda piloto:

   • $\psi$ sigue siendo una superposición matemática, pero solo la rama compatible con $\lambda$ guía las partículas.

   • Ejemplo: Si $\lambda =\text{no desintegrado }$, la rama $\mathrm{\mid }\text{vivo}⟩$ es la "activa".

3. Decoherencia:
   La interacción con el entorno (aire, caja, etc.) hace que:

   $$⟨\text{activado}\mathrm{\mid }\text{intacto}⟩\approx 0,$$

   destruyendo la coherencia entre ramas. Solo una contribuye a las trayectorias.

C. Ecuación de guía para el sistema macroscópico

• Las partículas del dispositivo/gato tienen posiciones $\vec{X}(t)$

$(t)$ definidas, con velocidades:

$$\vec{V}(t)=\frac{\mathrm{\nabla }S(\vec{X},t)}{M},$$

donde $S$ es la fase de la onda piloto total $\mathrm{\Psi }$. Como la decoherencia "selecciona" una rama, $\vec{V}(t)$solo depende de esa rama.

 

• Doble rendija:
  La interferencia surge de ${\psi }_1+{\psi }_2$, pero la partícula sigue una trayectoria definida guiada por $\mathrm{\nabla }S$.

• Gato de Schrödinger:
  No hay superposición macroscópica. El estado "vivo" o "muerto" está determinado por las posiciones iniciales (variables ocultas), y la decoherencia anula la rama no física.

DDB elimina las paradojas sin abandonar el realismo, aunque introduce variables inobservables (las posiciones exactas). Es una teoría determinista pero empíricamente equivalente a la cuántica estándar.

 

Formulación del Principio de Incertidumbre

El principio establece que:

$$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \frac{\mathrm{\hslash }}{2},$$

donde:

• $\mathrm{\Delta }x$: Incertidumbre en la posición.

• $\mathrm{\Delta }p$: Incertidumbre en el momento.

En la interpretación estándar (Copenhague), esto se interpreta como un límite fundamental en el conocimiento simultáneo de $x$ y $p$.

En De Broglie-Bohm, sin embargo, las partículas siempre tienen posición y momento definidos, pero el principio surge por otras razones.

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2. Origen del Principio de Incertidumbre en DDB

A. Variables ocultas y conocimiento incompleto

• En DDB, las partículas tienen posiciones exactas ($x$) y momentos exactos ($p=\mathrm{\nabla }S$), pero no podemos medirlos con precisión arbitraria debido a:

  1. La dependencia de la medida en la onda piloto ($\psi$):

     • Cualquier medición perturba $\psi$, lo que a su vez altera la trayectoria de la partícula.

     • Ejemplo: Medir la posición de un electrón requiere interactuar con él (ej: un fotón), modificando su onda piloto y su momento.

  2. Distribución estadística de las condiciones iniciales:

     • Las posiciones iniciales de las partículas están distribuidas según $\mathrm{\mid }\psi {\mathrm{\mid }}^2$ (hipótesis del equilibrio cuántico).

     • Aunque el sistema es determinista, no conocemos las posiciones iniciales exactas, lo que introduce incertidumbre práctica.

B. Relación con la ecuación de guía

El momento de la partícula en DDB es:

$$p=\mathrm{\nabla }S(x,t),$$

donde $S$ es la fase de $\psi =R{e}^{iS\mathrm{/}\mathrm{\hslash }}$.

• Si $\psi$ es un paquete de onda gaussiano (como en el caso típico de incertidumbre), $S$ varía rápidamente, y medir $x$ afecta a $p$ a través de $\mathrm{\nabla }S$.

• Esto reproduce matemáticamente el principio de Heisenberg, pero sin indeterminismo fundamental: es un límite práctico, no ontológico.

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3. Ejemplo Concreto: Partícula en una Caja

A. Función de onda inicial

$$\psi (x,0)=\frac{1}{(2\pi {\sigma }^2{)}^{1\mathrm{/}4}}{e}^{-x^2\mathrm{/}4{\sigma }^2}{e}^{i{p}_{0}x\mathrm{/}\mathrm{\hslash }},$$

donde:

• $\sigma$: Ancho del paquete de onda.

• $p_0$: Momento promedio.

B. Incertidumbre en DDB

1. Posiciones iniciales:

   • Las partículas están distribuidas según $\mathrm{\mid }\psi (x,0){\mathrm{\mid }}^2$ (gaussiana).

   • $\mathrm{\Delta }x=\sigma$.

2. Momento:

   • La fase es $S(x,0)=p_{0}x$, luego $p=\mathrm{\nabla }S=p_0$.

   • Pero al medir $x$, la interacción perturba $\psi$, cambiando $S(x,t)$ y generando $\mathrm{\Delta }p\approx \mathrm{\hslash }\mathrm{/}(2\sigma )$.

3. Resultado:

   $$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\approx \sigma \cdot \frac{\mathrm{\hslash }}{2\sigma }=\frac{\mathrm{\hslash }}{2},$$

   como en la cuántica estándar.

 

Diferencias Clave con la Interpretación de Copenhague

Aspecto	De Broglie-Bohm	Copenhague
Origen de la incertidumbre	Limitación práctica (variables ocultas inaccesibles)	Límite fundamental de la naturaleza
¿Existen $x$ y $p$ definidos?	Sí, pero no medibles simultáneamente con precisión	No, son indeterminados hasta medir
Rol del observador	No colapsa $\psi$, solo interactúa físicamente	Esencial para definir la realidad

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Ventajas de DDB:

• Determinismo subyacente: Las partículas tienen trayectorias reales, pero el principio de incertidumbre surge de nuestro desconocimiento de las condiciones iniciales.

• Sin colapso: No requiere un observador privilegiado.

Críticas:

• No localidad: Para conservar el principio de incertidumbre en sistemas entrelazados, DDB requiere acción a distancia (como en el experimento EPR).

• Variables inobservables: Las posiciones exactas son inaccesibles experimentalmente.

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Conclusión

En la teoría de De Broglie-Bohm:

• El principio de incertidumbre es una consecuencia de la dinámica de la onda piloto y las limitaciones prácticas de medición, no un límite ontológico.

• Las partículas tienen propiedades definidas, pero no podemos medirlas sin perturbar el sistema.

Esta interpretación reconcilia el determinismo con los resultados cuánticos, aunque introduce elementos como la no localidad.